Lógica Matemática

Adaptado de Paulo Marques - Feira de Santana - BA
(Site do Autor com outros temas matemáticos)

1 - INTRODUÇÃO

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.

Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.

p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )
q: " 3 + 5 = 2 " ( F )
r: " 7 + 5 = 12" ( V)
s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S_i = (n - 2) . 180º " ( V )
t: " O Sol é um planeta" ( F )
w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )
 

2 - Símbolos utilizados na Lógica Matemática

3 - O Modificador Negação

Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p .

4 - Operações lógicas

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos Ù , Ú , ® e « , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: pÙ q , pÚ q , p® q , p« q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior).
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.
Conjunção: pÙ q (lê-se "p e q " ).
Disjunção: pÚ q (lê-se "p ou q ") .
Condicional: p® q (lê-se "se p então q " ).
Bi-condicional: p« q ( "p se e somente se q") .

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:

• a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.
• a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
• a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.
• a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.

Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)
Temos:
pÙ q tem valor lógico F (ou 0)
pÚ q tem valor lógico V (ou 1)
p® q tem valor lógico V (ou 1)
p« q tem valor lógico F (ou 0).

Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!

Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!
Seria demais imaginar que a proposição pÙ q pode ser associada a um circuito série e a proposição pÚ q a um circuito em paralelo?
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo!

Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem.

Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F

Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja:
a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.

Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas:

O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p® q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:

1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p® q é verdadeira.

2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p® q é falsa.

3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p® q é verdadeira

4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)

Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p® q é verdadeira (V).

Exercícios:

1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (pÙ ~ q) ® q ?

Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .
r: (V Ù V) ® F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V ® F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.

2) Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b) a soma de dois números pares é um número par e 7² = 49.
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.
d) se 10² = 100 então todo número inteiro é natural.
e) 2 = 3² - 7 ou a Terra é plana.

Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 10² = 100 é V e "todo número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V ® F , que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).

Resumo da Teoria

1 - Tautologias e Contradições

Considere a proposição composta s: (pÙ q) ® (pÚ q) onde p e q são proposições simples
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:

Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira.

Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Ex.: A proposição composta t: p Ù ~p é uma contradição, senão vejamos:

NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2ⁿ linhas.
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (pÙ q) Ú r
Teremos:

Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.

Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades:

Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS:

1) (pÙ q) ® p
2) p ® (pÚ q)
3) [pÙ (p® q)] ® q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")
4) [(p® q) Ù ~q] ® ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")

Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.

NOTAS:
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.

2 - Álgebra das proposições

Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades:

a) Leis idempotentes
pÙ p = p
pÚ p = p

b) Leis comutativas
pÙ q = qÙ p
pÚ q = qÚ p

c) Leis de identidade
p Ù v = p
p Ù f = f
p Ú v = v
p Ú f = p

d) Leis complementares
~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)
p Ù ~p = f
p Ú ~p = v
~v = f
~f = v

e)Leis associativas
(pÙ q)Ù r = pÙ (qÙ r)
(pÚ q)Ú r = pÚ (qÚ r)

f) Leis distributivas
pÙ (qÚ r) = (pÙ q) Ú (pÙ r)
pÚ (qÙ r) = (pÚ q) Ù (pÚ r)

g) Leis de Augustus de Morgan
~(pÙ q) = ~p Ú ~q
~(pÚ q) = ~p Ù ~q

h) Negação da condicional
~(p® q) = pÙ ~q

Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.
Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):
Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p® q) e de pÙ ~q :

Tabela1:

Tabela 2:

Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p® q) = pÙ ~q .

Exs.:
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?
Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".

2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ?
Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".

3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?
Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo"

Dado um conjunto de proposições P₁, P₂ , P₃ , ... , P_n , Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO à proposição composta S : ( P₁ Ù P₂ Ù P₃ Ù ... Ù P_n ) ® Q .
As proposições P₁, P₂ , P₃ , ... , P_n são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUSÃO.
Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada:
P₁, P₂ , P₃ , ... , P_n \ Q , onde o símbolo \ significa "logo" ou "de onde se deduz " .

O argumento S : ( P₁ Ù P₂ Ù P₃ Ù ... Ù P_n ) ® Q será VÁLIDO se e somente se a proposição composta 
s : ( P₁ Ù P₂ Ù P₃ Ù ... Ù P_n ) ® Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE só contiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁCIA.

Consideremos o seguinte exemplo de argumento:

Se chove então faz frio.
Não chove,
Logo, não faz frio.

Este argumento é válido? Vejamos:

Sejam as proposições:
p: " chove "
q: " faz frio "
Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima:

s: [(p ® q) Ù ~p] ® ~q

Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição composta
s: [(p ® q) Ù ~p] ® ~q.

 

Como a proposição composta
s: [(p ® q) Ù ~p] ® ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que o argumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA.

Vamos agora considerar o seguinte argumento:

Se chove então faz frio.
Não faz frio.
Logo, não chove.

Este argumento é válido? Vejamos:

Sejam as proposições:
p: " chove "
q: " faz frio "
Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será  ~q (a negação de q). Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica:

s: [(p ® q) Ù ~q] ® ~p

Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição composta
s: [(p ® q) Ù ~q] ® ~p .

 

Como a proposição composta
s: [(p ® q) Ù ~q] ® ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado é válido.

Este tipo de problema se complica um pouco quando o número de premissas aumenta, pois com duas premissas, a tabela verdade conterá 2² = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 2³ = 8 linhas e assim sucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 2⁴ = 16 linhas; imagine 10 premissas! 
A tabela verdade conteria 2¹⁰ = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam ...

Considere outro exemplo, agora com 3 premissas:

Se o jardim não é florido então o gato mia.
Se o jardim é florido então o passarinho não canta.
O passarinho canta.
Logo, o jardim é florido e o gato mia.

Sejam as proposições:

p: " o jardim não é florido"
q: " o gato mia"
r: " o pássaro canta"
Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica:

s : [(p ® q) Ù (~ p ® ~ r) Ù r ] ® ( ~ p Ù q )

Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:
 

Como o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna) , o argumento não é válido.

Notas:
1 – o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção.
2 – neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é uma necessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa.
3 – recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade.

Agora resolva estes:

1 - Se o jardim não é florido então o gato mia.
O gato não mia.
Logo, o jardim é florido.
Resposta: o argumento é válido.

Veja no diagrama abaixo que onde o gato não mia é sempre florido

2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia.
O jardim é florido.
Logo, o gato mia.
Resposta: o argumento não é válido. 

Veja no diagrama abaixo que existe jardim sem gato que mia